Courbure

En un point donné M d'une courbe (trajectoire), M', M" et M" définissent un seul cercle dans l'espace.

En passant à la limite correspondant à:

le cercle passant par M, M' et M" tend vers un cercle limite nommé cercle osculateur.

figure 7

Pour le point M, ce cercle est unique. Le rayon du cercle osculateur est encore nommé rayon de courbure. Son centre W est le centre de courbure de la courbe au point M.

On appelle osculateur le plan v contenant le cercle osculateur.

Dans plan osculateur v observons un déplacement infinitésimal:

figure 8

L'élément d'arc s'écrit: . Le rayon de courbure est fonction du point considéré: . La dérivée d'un vecteur unitaire par rapport à l'angle polaire est un vecteur unitaire en quadrature avance:

Il vient:

Pour une courbe plane, les vecteurs:

peuvent servir de base vectorielle locale autour de M:

La courbure est pour une trajectoire, la capacité de sa tangente à changer de direction. Plus précisément, nous définirons la courbure locale C, comme le module de la variation du vecteur tangent, par rapport au chemin parcouru ds:

Figure: 9

La courbure est l'inverse du rayon de courbure, et de ce fait est toujours positive ou nulle: